Solvusoft: Золотой сертификат Microsoft. P x q бм что это

14 Лекция

§4.3. Кольцо полиномов от одной переменной над полем

Рассмотрим множество P[x] = {f(x) = anxn + an – 1xn – 1 +…+ a1x + a0 | n  Z0, ai  P, } – множество полиномов (многочленов) от одной переменной x с коэффициентами из поля P. (P[x], +, ) является кольцом с обычными операциями сложения и умножения полиномов. Это ассоциативное и коммутативное кольцо с единицей (1P) и без делителей нуля, что следует из свойств умножения, правила вычисления старшего коэффициента в P[x] и свойств поля P. Условимся степень многочлена f(x) обозначать degf (от англ. degree – «степень»). Тогда deg(f  g) = degf + degg для всех f(x), g(x)  P[x]\{0}. Степень нулевого многочлена часто считают неопределенной, но иногда будем считать ее нулевой, как степень многочлена, являющегося элементом поля P (0P). По своим свойствам кольцо P[x] близко к кольцу целых чисел.

Теорема 4.3.1. Обратимыми многочленами в кольце полиномов P[x] являются многочлены нулевой степени, отличные от нуля, и только они, то есть P[x]*= P*.

Очевидно, что P*P[x]*. Если f(x)P[x]* и degf  1, то при умножении на f(x) любого многочлена, отличного от нуля, согласно правилу вычисления старшего коэффициента получим многочлен степени не ниже первой и, таким образом, не сможем получить 1P – многочлен нулевой степени. Следовательно, degf = 0, значит, f(x)P*. Поэтому P[x]*P*. Итак, P[x]*= P*.

Как и для Z, для кольца полиномов над полем имеют место следующие две теоремы.

Теорема 4.3.2 (о делении с остатком). Для любых двух многочленов f(x) и g(x)  0 из P[x] существуют единственные многочлены q(x) и r(x) из P[x] такие, что r(x) = 0 либо 0 deg r <deg g и выполняется равенство:

f(x) = g(x)  q(x)+r(x). (4.3.1)

Докажем существование пары многочленов q(x) и r(x), рассмотрев следующие случаи.

1. Если f(x) = 0, то, очевидно, q(x) = 0, r(x) = 0.

2. Если deg f <deg g, то f(x) = 0  g(x)+f(x). Тогда q(x) = 0, r(x) = f(x).

3. Если deg f  deg g, то используется известный метод деления «уголком» f(x) на g(x), аналогичный методу деления целых чисел, для нахождения q(x) и r(x).

Теперь докажем единственность пары многочленов q(x) и r(x). Пусть f(x) = = g(x)  q1(x)+r1(x) = g(x)  q2(x)+r2(x), тогда g(x)  (q1(x)–q2(x)) = r2(x)–r1(x),  r1(x) = r2(x), так как при r1(x)  r2(x) q1(x)  q2(x) и получаем противоречие с тем, что 0deg(r2–r1) <degg. Отсюда следует, что q1(x) = q2(x), поскольку g(x)  0.

Теорема 4.3.3. (P[x], +, ) – кольцо главных идеалов.

В (P[x], +, ), как в коммутативном кольце, все идеалы являются двусторонними.

1. Если идеал J = {0} в P[x], то J = < 0 > – главный идеал.

2. Если идеал J  {0}, то в J найдем многочлен наименьшей степени, пусть это будет d(x). Покажем, что J = < d(x) >.

Очевидно, что < d(x) > J по определению идеалов J и < d(x) >.

Пусть f(x) J, тогда согласно теореме 4.3.2 существует единственная пара многочленов q(x) и r(x) таких, что выполняется равенство f(x) = q(x)d(x) + r(x), причем r(x) = 0 либо 0  deg r < deg d. Значит, r(x) = f(x) – q(x)d(x) J. Если r(x)  0, то deg r < deg d, а это противоречит тому, что d(x) – многочлен минимальной степени в J. Поэтому r(x) = 0 и f(x) < d(x) >, значит, J  < d(x) >.

Итак, J = < d(x) >.

Определение 4.3.1. В равенстве (4.3.1) q(x) называют частным (неполным частным, если r(x)  0), а r(x) – остатком от деления f(x) на g(x). Если r(x) = 0, то говорят, что g(x), q(x)  0 – делители или множители полинома f(x). Также в этом случае говорят, что g(x) и q(x)  0 делят f(x), обозначение: g(x) | f(x), или f(x) кратно (делится на) g(x) и q(x)  0, обозначение: f(x)  g(x).

Если g(x)|f(x) и 0 <deg g <deg f, то многочлен g(x) называют нетривиальным делителем многочлена f(x). Очевидно, произвольный элемент P* является делителем любого многочлена f(x) из P[x]. При f(x)  0  –1f(x) – также делитель f(x). Поэтому такие делители называют тривиальными.

Будем обозначать g(x)f(x), если g(x)  0 не делит f(x), и f(x)g(x), если f(x) не делится на g(x)  0.

Для многочленов из P[x] справедливы свойства делимости, аналогичные свойствам делимости в Z.

Свойства делимости многочленов

1. Для g(x)  0 g(x) | 0.

0 = g(x)  0.

2. Для P* и f(x)P[x]  | f(x).

f(x) =   (–1  f(x)).

3. Если g(x) | f(x) и f(x) | h(x), то g(x) | h(x) – свойство транзитивности.

h(x) = f(x)q(x) = g(x)u(x)q(x) для соответствующих q(x), u(x)P[x].

4. g(x) | f(x)  f(x) | g(x)  f(x) = g(x) для некоторого  P*.

f(x) = g(x)q(x)  g(x) = f(x)u(x)  f(x) = f(x)u(x)q(x)  q(x)u(x) = 1  q(x), u(x) P*  q(x) = , u(x) =  –1, где  P*.

5. Если g(x)|, , то g(x)|  для kN, ui(x)P[x].

==g(x) = u(x)g(x), причем u(x)P[x].

6. Еслив равенстве все многочлены кроме, быть может, одного делятся наd(x), то и этот многочлен также делится на d(x).

Не ограничивая общности, можем считать, что этим многочленом является . Поскольку, а также, то справедливо равенство:

,

где , следовательно,d(x) |.

7. f(x) | g(x)  f(x) | g(x) для ,  P*.

g(x) = q(x)f(x) для соответствующего q(x)P[x]. Тогда для , P* последнее равенство равносильно g(x) =  –1q(x)f(x)  f(x) | g(x).

Определение 4.3.2. Общим делителем (ОД) многочленов f1(x), f2(x),…, fs(x)P[x], sN2, называется многочлен d(x)P[x] такой, что .Наибольшим общим делителем (НОД) многочленов f1(x), f2(x),…, fs(x), хотя бы один из которых отличен от нулевого, называется такой их нормированный общий делитель (со старшим коэффициентом 1), который делится на любой другой их общий делитель. Таким образом, нормированность гарантирует однозначность НОД, его обозначают НОД(f1(x), f2(x),…, fs(x)) или (если это не вызывает разночтений) (f1(x), f2(x),…, fs(x)).

Очевидно, что если g(x)|f(x), то (g(x), f(x)) =g(x), где – старший коэффициентg(x), deg g = m.

Аналогом теоремы 1.2.1 для P[x] является следующая теорема.

Теорема 4.3.4. Если f(x) = g(x)q(x)+r(x), то (f(x), g(x)) = (g(x), r(x)).

Доказательство следует из определения НОД и свойств 5 и 6 делимости многочленов.

Теорема 4.3.5. НОД многочленов f(x) и g(x) из кольца P[x] при g(x)f(x) и f(x)g(x), deg g  deg f, совпадает с нормированным последним отличным от нуля остатком от деления rn(x) из следующей цепочки равенств:

,

, если r1(x)  0,

, если r2(x)  0, (4.3.2)

…………………………………

, если rn – 1(x)  0,

rn – 1(x) = rn(x)qn + 1(x), если rn(x)  0.

Согласно теореме 4.3.4 имеем

,

где  является обратным элементом к старшему коэффициенту многочлена , чтобы НОД был нормированным. Согласно теореме 4.3.2, где. Процесс конечен, так как степень остатка постоянно уменьшается до 0.

Теорема 4.3.5 представляет собой аналог для P[x] алгоритма Евклида нахождения НОД целых чисел (теоремы 1.2.2).

НОД многочленов вычисляется рекурсивно для  s  3:

(f1(x),f2(x),…,fs(x))=((f1(x),f2(x),…,fs – 1(x)),fs(x)).

Пример 4.3.1. Найдем наибольший общий делитель многочленов f(x) = x4 + 3x3 – x2 – 4x – 3 и g(x) = 3x3 + 10x2 + 2x – 3 в кольце Q[x].

Последовательным делением «уголком» получаем цепочку равенств согласно алгоритму Евклида:

Таким образом, (f(x), g(x)) == 1/9r2(x) = x + 3.

Теорема 4.3.6. Если d(x) = (f(x), g(x)), то в P[x] существуют многочлены u(x) и v(x) такие, что d(x) = u(x)f(x) + v(x)g(x).

Если g(x) | f(x), то, как указывалось выше, (f(x), g(x)) = bm–1g(x) = 0  f(x) + + bm–1g(x), где bm – старший коэффициент g(x), deg g = m. Если f(x) | g(x), то по аналогии (f(x), g(x)) = an–1f(x) = an–1f(x) + 0  g(x), где an – старший коэффициент f(x), deg f = n.

Пусть теперь g(x)f(x), f(x)g(x) и, не ограничивая общности, можно считать, что deggdegf. Случай degfdegg рассматривается аналогично. Согласно теореме 4.3.5 и обратному применению цепочки равенств (4.3.2) имеем:

,

где u(x), v(x)  P[x]. Используя расширенный алгоритм Евклида, из цепочки равенств (4.3.2) получим в соотношении дляd(x),f(x) иg(x) те же многочленыu(x) иv(x):

,

= =

= ,

…

=…= u(x)f(x) + v(x)g(x).

Следствие. Если d(x) = (f1(x), f2(x),…, fs(x)), s  2, то в P[x] существуют многочлены u1(x), u2(x),…, us(x) такие, что

. (4.3.3.)

Доказательство проводится методом математической индукции с использованием теоремы 4.3.6 и рекурсивного вычисления НОД полиномов.

Определение4.3.3.Равенство (4.3.3) называютсоотношением Безудля наибольшего общего делителя многочленов.

Замечание.Многочленыu1(x),u2(x),…,us(x)  P[x] в (4.3.3) не являются единственными с таким условием. Так, например, легко видеть, что приs = 2 еслиd(x) = u1(x)f1(x) + u2(x)f2(x), то для любого многочленаq(x)  P[x] многочлены изP[x]u1(x) + q(x)f2(x)/d(x) иu2(x) – q(x)f1(x)/d(x) также являются коэффициентами данного соотношения Безу приf1(x) иf2(x) соответственно.

Пример4.3.2.Найдемu(x), v(x)  Q[x] в соотношении Безу для НОДd(x) = x + 3 многочленовf(x) иg(x) из примера 4.3.1.

d(x) =  = 

= .

Таким образом, , .

Согласно приведенному выше замечанию для всех q(x)  Q[x]uq(x) = u(x) + q(x)g(x)/d(x) иvq(x) = v(x) – q(x)f(x)/d(x) также являются коэффициентами данного соотношения Безу приf(x) иg(x) соответственно. Например, приq(x) = 1 получаемu1(x) = u(x) + g(x)/d(x) = 3x2 + 8/5x – 2 иv2(x) = v(x) – – f(x)/d(x) = – x3 – 1/5x2 + 7/5x + 1.

Определение 4.3.4. Общим кратным (ОК) ненулевых многочленов f1(x), f2(x),…, fs(x)P[x], sN2, называется многочлен m(x)P[x] такой, что .Наименьшим общим кратным (НОК) многочленов f1(x), f2(x),…, fs(x)  0 называется такое их нормированное общее кратное (со старшим коэффициентом 1), на которое делится любое другое их общее кратное. Таким образом, нормированность гарантирует однозначность НОК, его обозначают НОК(f1(x), f2(x),…, fs(x)) или (если это не вызывает разночтений) [f1(x), f2(x),…, fs(x)].

Очевидно, что если g(x)|f(x), то при f(x)  0 [g(x), f(x)] = an–1f(x), где an – старший коэффициент f(x), deg f = n.

НОК многочленов вычисляется рекурсивно для  s  3:

[f1(x), f2(x),…, fs(x)] = [[f1(x), f2(x),…, fs – 1(x)], fs(x)].

Определение 4.3.5. Если (f1(x), f2(x),…, fs(x)) = 1, s  2, то многочлены f1(x), f2(x),…, fs(x) называются взаимно простыми.

Теорема 4.3.7 (критерий взаимной простоты многочленов). Многочлены f1(x), f2(x),…, fs(x)P[x], s  2, тогда и только тогда взаимно просты, когда найдутся такие многочлены u1(x), u2(x),…, us(x)P[x], что  = 1.

Необходимость. Если (f1(x), f2(x),…, fs(x)) = 1, то по следствию из теоремы 4.3.5 существуют многочлены u1(x), u2(x),…, us(x)P[x] такие, что .

Достаточность. Если данное соотношение справедливо и d(x) = (f1(x), f2(x),…, fs(x)), то по свойству 5 делимости многочленов d(x) | 1, следовательно, degd = 0. Так как старший коэффициент d(x) равен 1, то d(x) = 1, что означает взаимную простоту многочленов f1(x), f2(x),…, fs(x) по определению.

Из этого критерия вытекает ряд важных следствий.

Следствие 1. Если произведение многочленов f(x) и g(x) делится на многочлен h(x) и (f(x), h(x)) = 1, то g(x) делится на h(х).

. Умножим нa g(x) обе части данного равенства. Получим u(x)f(x)g(x) + v(x))g(x) = g(x). Откуда имеем

(u(x)q(x) + v(x)g(x))) =g(x),

поскольку  q(x)  P[x] с условием f(x)g(x) = q(x)h(x). Таким образом, получаем, что ) | g(x).

Следствие 2. Многочлен f(x) взаимно прост с каждым из многочленов g(х) и h(х) тогда и только тогда, когда он взаимно прост и с их произведением.

Необходимость. Так как (f(x), g(х)) = 1 и (f(x), h(х)) = 1, то согласно теореме 4.3.7 такие, что выполняются равенства ,. Тогда, перемножая почленно данные равенства, получим:

–выполняется критерий взаимной простоты для многочленов f(x) и g(х)h(х).

Достаточность. Пусть (f(x), g(x)h(x)) = 1. Если предположить, что (f(x), g(x)) = d1(x)  1 или (f(x), h(x)) = d2(x)  1, то согласно свойству 3 делимости многочленов и определению НОД получим, что d1(x) | (f(x), g(x)h(x)) либо d2(x) | (f(x), g(x)h(x)). Это противоречит тому, что (f(x), g(x)h(x)) = 1. Значит, (f(x), g(x)) = 1 и (f(x), h(x)) = 1.

studfiles.net

Как открыть файл BM? Расширение файла .BM

• Как открыть файл с расширением BM?
• Как провести конвертирование файла BM в другой формат?
• Что такое расширение формата файлов BM?
• Какие программы обслуживают файл BM?

Что еще может вызвать проблемы?

www.file-extension.info

Как открыть BM файлы - Файлы с расширением BM

Что обозначает расширение BM?

автор: Jay Geater, главный писатель по вопросам технологий

Вам кто-то послал по электронной почте файл BM, и вы не знаете, как его открыть? Может быть, вы нашли файл BM на вашем компьютере и вас заинтересовало, что это за файл? Windows может сказать вам, что вы не можете открыть его, или, в худшем случае, вы можете столкнуться с соответствующим сообщением об ошибке, связанным с файлом BM.

До того, как вы сможете открыть файл BM, вам необходимо выяснить, к какому виду файла относится расширения файла BM.

Tip: Incorrect BM file association errors can be a symptom of other underlying issues within your Windows operating system. These invalid entries can also produce associated symptoms such as slow Windows startups, computer freezes, and other PC performance issues. Therefore, it highly recommended that you scan your Windows registry for invalid file associations and other issues related to a fragmented registry.

Ответ:

Файлы BM имеют Uncommon Files, который преимущественно ассоциирован с X Windows System Bitmap.

Файлы BM также ассоциированы с Unknown Apple II File (found on Golden Orchard Apple II CD Rom) и FileViewPro.

Иные типы файлов также могут использовать расширение файла BM. Если вам известны любые другие форматы файлов, использующие расширение файла BM, пожалуйста, свяжитесь с нами, чтобы мы смогли соответствующим образом обновить нашу информацию.

Как открыть ваш файл BM:

Самый быстрый и легкий способ открыть свой файл BM — это два раза щелкнуть по нему мышью. В данном случае система Windows сама выберет необходимую программу для открытия вашего файла BM.

В случае, если ваш файл BM не открывается, весьма вероятно, что на вашем ПК не установлена необходимая прикладная программа для просмотра или редактирования файлов с расширениями BM.

Если ваш ПК открывает файл BM, но в неверной программе, вам потребуется изменить настройки ассоциации файлов в вашем реестре Windows. Другими словами, Windows ассоциирует расширения файлов BM с неверной программой.

We highly recommend scanning your Windows registry for invalid file associations and other related registry issues.

Загрузки программного обеспечения, связанные с расширением файла BM:

* Некоторые форматы расширений файлов BM можно открыть только в двоичном формате.

Скачать FileViewPro для открытия ваших файлов BM прямо сейчас

Установить необязательные продукты - FileViewPro (Solvusoft) | Лицензия | Политика защиты личных сведений | Условия | Удаление

BM Инструмент анализа файлов™

Вы не уверены, какой тип у файла BM? Хотите получить точную информацию о файле, его создателе и как его можно открыть?

Теперь можно мгновенно получить всю необходимую информацию о файле BM!

Революционный BM Инструмент анализа файлов™ сканирует, анализирует и сообщает подробную информацию о файле BM. Наш алгоритм (ожидается выдача патента) быстро проанализирует файл и через несколько секунд предоставит подробную информацию в наглядном и легко читаемом формате.†

Уже через несколько секунд вы точно узнаете тип вашего файла BM, приложение, сопоставленное с файлом, имя создавшего файл пользователя, статус защиты файла и другую полезную информацию.

Чтобы начать бесплатный анализ файла, просто перетащите ваш файл BM внутрь пунктирной линии ниже или нажмите «Просмотреть мой компьютер» и выберите файл. Отчет об анализе файла BM будет показан внизу, прямо в окне браузера.

Ваш файл анализируется... пожалуйста подождите.

Имя файла:

Размер файла:

Прервать

† Инструмент анализа файлов BM использует компоненты стороннего программного обеспечения. Нажмите здесь, чтобы прочитать правовую оговорку.

Установить необязательные продукты - FileViewPro (Solvusoft) | Лицензия | Политика защиты личных сведений | Условия | Удаление

Об авторе: Джей Гитер (Jay Geater) является президентом и генеральным директором корпорации Solvusoft — глобальной компании, занимающейся программным обеспечением и уделяющей основное внимание новаторским сервисным программам. Он всю жизнь страстно увлекался компьютерами и любит все, связанное с компьютерами, программным обеспечением и новыми технологиями.

www.solvusoft.com

Money making или идеальные действия

Влияние на показатели P × Q

Мне потребовалось пять с лишним лет, чтобы понять, что бизнес — это не магический борщ, а система взаимосвязанных показателей. Просто работать и даже работать усердно — это значит создавать половником цунами в кастрюле с борщом, с героическим видом выплескивая все на фартук.

Сейчас вам не нужны действия, которые нельзя измерить. Чтобы не усложнять, разложим возможные точки приложения ваших усилий.

Любой бизнес — это количество сделок, помноженное на среднюю сумму сделки. Как нас учили в университете: P × Q.

Если разложить эту нехитрую формулу, то мы увидим четыре базовых показателя:L × CV × $ × # = выручка

L — количество потенциальных клиентов, которых мы получаем за период. Вопрос: есть ли меры по увеличению количества попыток?

CV — эффективность переработки обращений в сделки. Вопрос: есть ли меры по увеличению эффективности переработки?

$ — средний чек одной сделки. Вопрос: есть ли меры по увеличению среднего чека?

# — средняя частота покупок одного клиента. Вопрос: есть ли меры, которые спровоцируют клиентов покупать чаще?

Вопрос: на какой показатель повлияет планируемое действие, какое увеличение показателя можно прогнозировать на период планирования (месяц, квартал)?

Типовой бизнес можно представить так: 216 попыток × 14% конверсии × 5600 руб среднего чека ×   × 1 покупку в месяц = 169 344 руб

Если мы добьемся локального и сравнительно небольшого прироста по каждому из показателей, мы получим практически двукратный прирост выручки.256 × 17% × 6200 руб × 1,2 = 323 788 руб

По мере роста и усложнения бизнеса система ключевых показателей тоже будет усложняться. Появятся показатели дебиторской задолженности, норма списаний, норма возвратов, эффективность покрытия полок, объемы продаж в региональных и товарных разрезах. Но важно понимать, что за каждым показателем должено быть закреплено.

molodost.bz

Как открыть BM$ файлы - Файлы с расширением BM$

Что обозначает расширение BM$?

автор: Jay Geater, главный писатель по вопросам технологий

Вам кто-то послал по электронной почте файл BM$, и вы не знаете, как его открыть? Может быть, вы нашли файл BM$ на вашем компьютере и вас заинтересовало, что это за файл? Windows может сказать вам, что вы не можете открыть его, или, в худшем случае, вы можете столкнуться с соответствующим сообщением об ошибке, связанным с файлом BM$.

До того, как вы сможете открыть файл BM$, вам необходимо выяснить, к какому виду файла относится расширения файла BM$.

Tip: Incorrect BM$ file association errors can be a symptom of other underlying issues within your Windows operating system. These invalid entries can also produce associated symptoms such as slow Windows startups, computer freezes, and other PC performance issues. Therefore, it highly recommended that you scan your Windows registry for invalid file associations and other issues related to a fragmented registry.

Ответ:

Файлы BM$ имеют Uncommon Files, который преимущественно ассоциирован с Modem Bitware Fax disk2 file.

Иные типы файлов также могут использовать расширение файла BM$. Если вам известны любые другие форматы файлов, использующие расширение файла BM$, пожалуйста, свяжитесь с нами, чтобы мы смогли соответствующим образом обновить нашу информацию.

Как открыть ваш файл BM$:

Самый быстрый и легкий способ открыть свой файл BM$ — это два раза щелкнуть по нему мышью. В данном случае система Windows сама выберет необходимую программу для открытия вашего файла BM$.

В случае, если ваш файл BM$ не открывается, весьма вероятно, что на вашем ПК не установлена необходимая прикладная программа для просмотра или редактирования файлов с расширениями BM$.

Если ваш ПК открывает файл BM$, но в неверной программе, вам потребуется изменить настройки ассоциации файлов в вашем реестре Windows. Другими словами, Windows ассоциирует расширения файлов BM$ с неверной программой.

We highly recommend scanning your Windows registry for invalid file associations and other related registry issues.

Загрузки программного обеспечения, связанные с расширением файла BM$:

* Некоторые форматы расширений файлов BM$ можно открыть только в двоичном формате.

Скачать FileViewPro для открытия ваших файлов BM$ прямо сейчас

Установить необязательные продукты - FileViewPro (Solvusoft) | Лицензия | Политика защиты личных сведений | Условия | Удаление

BM$ Инструмент анализа файлов™

Вы не уверены, какой тип у файла BM$? Хотите получить точную информацию о файле, его создателе и как его можно открыть?

Теперь можно мгновенно получить всю необходимую информацию о файле BM$!

Революционный BM$ Инструмент анализа файлов™ сканирует, анализирует и сообщает подробную информацию о файле BM$. Наш алгоритм (ожидается выдача патента) быстро проанализирует файл и через несколько секунд предоставит подробную информацию в наглядном и легко читаемом формате.†

Уже через несколько секунд вы точно узнаете тип вашего файла BM$, приложение, сопоставленное с файлом, имя создавшего файл пользователя, статус защиты файла и другую полезную информацию.

Чтобы начать бесплатный анализ файла, просто перетащите ваш файл BM$ внутрь пунктирной линии ниже или нажмите «Просмотреть мой компьютер» и выберите файл. Отчет об анализе файла BM$ будет показан внизу, прямо в окне браузера.

Ваш файл анализируется... пожалуйста подождите.

Имя файла:

Размер файла:

Прервать

† Инструмент анализа файлов BM$ использует компоненты стороннего программного обеспечения. Нажмите здесь, чтобы прочитать правовую оговорку.

Установить необязательные продукты - FileViewPro (Solvusoft) | Лицензия | Политика защиты личных сведений | Условия | Удаление

Об авторе: Джей Гитер (Jay Geater) является президентом и генеральным директором корпорации Solvusoft — глобальной компании, занимающейся программным обеспечением и уделяющей основное внимание новаторским сервисным программам. Он всю жизнь страстно увлекался компьютерами и любит все, связанное с компьютерами, программным обеспечением и новыми технологиями.

www.solvusoft.com

Капли, аккорды, текст, mp3, видео

× Стоп

mychords.net

Капли Jamaru Аккорды, тексты песен, видео.

Видео для песни "Капли":

pesnigitara.com

• 
  Электронные кошельки в беларуси 2018
• 
  Как за 7 дней новичку начать зарабатывать на партнерских программах
• 
  Создать профессиональный сайт
• 
  Лизинг автомобилей физическими лицами
• 
  Способы заработка на ставках
• 
  Есть ли будущее у профессии риэлтор
• 
  Есть ли будущее у профессии риэлтор
• 
  Копия медицинского полиса
• 
  Копия медицинского полиса
• 
  Персональный менеджер тинькофф
• 
  Персональный менеджер тинькофф